Care este cel mai mare divizor comun și cum se calculează precis

Ministerul Educației a publicat de curând al șaselea set de teste de antrenament în vederea pregătirii pentru Evaluarea Națională 2021, iar noi ne-am gândit să venim în ajutorul celor care au început recapitularea cu o lecție la matematică extrem de importantă: cel mai mare divizor comun. Ce este, cum se calculează și la ce ne folosește, în continuare.

Cel mai mare divizor comun

Lecția cu privire la cel mai mare divizor comun le este predată elevilor în clasa a V-a, iar pentru că mulți dintre cei care se pregătesc pentru examenul de Evaluare Națională 2021 probabil că au uitat-o, am pregătit acest material. Așadar, ce este cel mai mare divizor comun?

Definiție: Cel mai mare divizor comun a două numere naturale a și b este, după cum arată și numele, cel mai mare număr natural d care divide și pe a și pe b.

Este numit c.m.m.d.c. un număr întreg d având proprietățile:

• d | a și d | b (d este un divizor comun al numerelor a și b);
• orice alt divizor comun c al lui a și b îl divide pe d.

Notă: Dacă d este cel mai mare divizor comun al lui a și b, atunci acesta se notează d = c.m.m.d.c. (a,b) sau d = (a,b).

Impact.ro

Te CRUCEȘTI! Vedetele din România care au fost ÎNȘELATE de parteneri!

Impact.ro

IMAGINI indecente cu Tania Budi au scăpat din telefon! Niciodată nu ai mai văzut-o AȘA

Teorema 1: Fie a și b două numere întregi. Atunci există exact două numere întregi opuse, d și (-d), cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor a și b.

Observație: Numărul pozitiv dintre cele două se noteaza (a,b), iar valoarea sa se calculează folosind algoritmul lui Euclid.

Teorema 2: Fie a și b două numere întregi și d un c.m.m.d.c. al lor (oricare dintre cei doi). Atunci există două numere întregi k1 și k2, astfel încât d = k1 . a + k2 . b.

Exemplu: Dacă – 3 = (6,9), atunci există numerele întregi – 2 și 1, astfel încât – 3 = (- 2) . 6 + 1 . 9.

Observații: Două numere întregi a și b se numesc prime între ele dacă (a,b) = 1. Deducem că două numere întregi a și b sunt prime între ele dacă și numai dacă există două numere întregi k1 și k2, astfel încât 1 = k1 . a + k2 . b.

Citește și: Bacalaureat şi Evaluare Naţională 2021. Ministrul Educaţiei, despre cum se vor desfăşura examenele în localităţile carantinate

Cum se calculează c.m.m.d.c.

Cel mai mare divizor comun are, desigur, mai multe utilizări, însă este folosit în principal pentru a simplifica fracțiile.

Algoritmul privind calculul c.m.m.d.c.:

• Se descompun numerele în factori primi;
• Se aleg factorii primi comuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mic și se înmulțesc între ei. Produsul obținut este c.m.m.d.c. căutat.

Exemplu de exercițiu rezolvat: a = 12 = 2 la puterea a 2 . 3;

b = 8 = 2 la puterea a 3 a;

c = 20 = 2 la puterea a 2 a . 5.

Deci: d = 2 la puterea a 2 a = 4

Prin urmare: d = [12, 8, 20] = 4.

Exemplu nr. 2

Haideți să aflăm, de exemplu, cel mai mare divizor comun pentru numere 84 și 196.

Rezolvare: (84,196) = ?

Pasul 1: Descompunem mai întâi cele două numere în factori primi.

Pasul 2: Scriem descompunerele celor două numere.

84 = 2 la puterea a 2 a . 3 . 7

196 = 2 la puterea a 2 a . 7 la puterea a 2 a

Pasul 3: Calculăm cel mai mare divizor comun al numerelor.

c.m.m.d.c. (84,196) = 2 la puterea a 2 a . 7 = 4 . 7 = 28

Observații: Am luat factorii 2 și 7 pentru că apar în ambele descompuneri, adică sunt factori comuni.

Pe 2 l-am luat cu exponentul 2 pentru că apare și la prima descompunere și la a doua cu acelașu exponent.

Pe 7 l-am luat cu exponentul 1 deoarece trebuie luat cu cel mai mic exponent la care apare în cele două descompuneri.

Totodată, să nu uităm o proprietate foarte importantă:

Două numere naturale care au cel mai mic divizor comun egal cu 1 se numesc prime între ele sau relativ prime.

(a,b) = 1, atunci a și b sunt numere prime între ele.